कोष समाप्त हुने जोखिम
लक्ष्यमा पुग्नुअघि आफ्नो सम्पूर्ण खेल कोष गुम्ने सम्भाव्यता।
समान-रकम बाजीका लागि दिवालियापनको जोखिम जुवारीको दिवालियापन सूत्रअनुसार हुन्छ। $500 खेल कोष, $10 बाजी र $600 लक्ष्यमा तपाईं करिब 57% पटक लक्ष्यमा पुग्नुहुन्छ र बाँकीमा दिवालिया हुनुहुन्छ।
प्रश्न
तपाईंसँग a एकाइपैसाएकाइप्रणाली वा खेलाडीले प्रयोग गर्ने आधार बाजीको रकम। प्रगति प्रणाली एकाइमा वर्णन हुन्छन् ताकि कुनै पनि रूलेट टेबलमा लागू होऊन्।पूरै पढ्नुहोस् →को खेल कोषपैसाखेल कोषखेलका लागि छुट्याइएको कुल रकम। खेल कोष व्यवस्थापन भनेको हरेक बाजी र हरेक सत्रमा त्यसको कति जोखिममा राख्ने निर्णय हो।पूरै पढ्नुहोस् → छ र p = 18/37 जित सम्भाव्यतागणितसम्भाव्यतानतिजा हुने मौका, 0 देखि 1 वा 0% देखि 100% सम्म। एउटा सङ्ख्या: 1/37 = 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् → र q = 19/37 हार सम्भाव्यता भएको समान-रकम बाजीबाजीसमान-रकम बाजीरातो/कालो, बिजोड/जोर, उच्च/न्यून। 18 सङ्ख्या, 1:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् →मा प्रत्येक पटक एक एकाइ लगाएर a + b एकाइ पुग्न चाहनुहुन्छ। शून्यमा पुग्नुअघि लक्ष्यमा पुग्ने सम्भाव्यता कति हो? Pascal, Fermat र Huygens ले 1650 को दशकमा यसको उत्तर निकालेका थिए, र यो सम्भाव्यता सिद्धान्तको सबैभन्दा पुरानो परिणाममध्ये एक हो।
जुवारीको दिवालियापन सूत्र
P(लक्ष्यमा पुग्ने) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)। दिवालियापनको जोखिमगणितकोष समाप्त हुने जोखिमलक्ष्य वा घुमाइ सङ्ख्या पुग्नुअघि सम्पूर्ण खेल कोष गुमाउने सम्भाव्यता।पूरै पढ्नुहोस् → त्यसबाट एक घटाउँदा हुन्छ। q/p = 19/18 ≈ 1.0556 हुँदा अनुपात एकाइको सङ्ख्यासँग घातीय रूपमा बढ्छ, त्यसैले सूत्रले साना एकाइलाई कठोर रूपमा सजाय दिन्छ: लक्ष्यमा पुग्न जति धेरै बाजी चाहिन्छ, बाटोमा 2.70% शुल्क उति धेरै पटक तिर्नुपर्छ।
यसलाई पढ्ने तरिका
साना एकाइले हानि गर्छन्। $10 बाजीले $500 दोब्बर पार्ने प्रयास 6% पटक सफल हुन्छ; एउटै $500 बाजीमा 48.6% पटक सफल हुन्छ। ऋणात्मक-अपेक्षित खेलमा साहसी खेल, थोरै र ठूला बाजीले लक्ष्य पुग्ने सम्भाव्यता अधिकतम बनाउँछ, किनकि एज लागू हुने पटकलाई न्यूनतम बनाउँछ। यसले तपाईंको नतिजाको प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान वरिपरि नतिजा कति व्यापक फैलिन्छन् भन्ने माप। स्ट्रेट अपमा उच्च, समान-रकम बाजीमा न्यून।पूरै पढ्नुहोस् → पनि अधिकतम बनाउँछ र साँझ चाँडै समाप्त गर्छ। यो प्रमेयलाई “साहसी खेल इष्टतम हुन्छ” भनिन्छ र Dubins र Savage ले 1965 मा प्रमाणित गरेका थिए।
समस्या कहाँबाट सुरु भयो
यो प्रश्न रूलेटभन्दा पुरानो हो। 1656 मा Pascal ले Fermat लाई एउटा पहेली दिए: दुई खेलाडीले तीन पासा फ्याँक्छन्, दुवैसँग सुरुमा 12 काउन्टर हुन्छन्; 11 आए काउन्टर एकातिर सर्छ, 14 आए अर्कोतिर। दुवैले समाधान गरे, र गणितज्ञ Pierre de Carcavi को पत्रमार्फत सुनेका Huygens ले 1657 मा सम्भाव्यताको पहिलो पुस्तकको पाँचौँ समस्याका रूपमा उत्तरसहित तर प्रमाणबिना छापे। एघार आउने 27 तरिका र चौध आउने 15 मात्र तरिका छन्, त्यसैले प्रत्येक काउन्टर पहिलो खेलाडीको पक्षमा 14 मध्ये 9 पटक सर्छ; दुवैसँग 12 काउन्टर हुँदा माथिको सूत्रले उसलाई सबै जित्ने सम्भाव्यता सबै हार्नेभन्दा करिब 1,157 गुणा बढी देखाउँछ। 2.70% एज धेरै सानो हो, तर उही सूत्रले धेरै बाजीमा त्यसले के गर्छ देखाउँछ।
वास्तविक साहसी बाजी
अप्रिल 2004 मा युवा अंग्रेज Ashley Revell ले कपडासमेत आफ्ना प्रायः सबै सम्पत्ति बेचे र $1,35,300 लिएर Las Vegas को Plaza पुगे। केही साना बाजीपछि उनले पूरै रकम रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् →मा एकै पटक लगाए। बलउपकरणबलरोटरको दिशाविपरीत मार्गमा प्रक्षेपण गरिने सानो बल। आधुनिक बल ivorine वा Teflon का, 18–21 mm हुन्छन्।पूरै पढ्नुहोस् → रातो 7 मा पर्यो र उनी $2,70,600 लिएर बाहिरिए। दोहोरो-शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → पाङ्ग्रामा त्यो एकल घुमाइको सम्भाव्यता 47.37% थियो र एउटै बाजीको 5.26% एजबाट औसतमा उनको $7,121 लागत थियो। $10 बाजीमा फैलाउँदा उही लक्ष्य लगभग निराशाजनक हुन्थ्यो। साहसी खेलले बाजी राम्रो बनाउँदैन; यसले त्यसलाई सम्भव भएसम्म छोटो बनाउँछ।
लक्ष्यबिनाको दिवालियापनको जोखिम
तपाईं केवल दिवालिया नहुन्जेल खेल्नुहुन्छ वा N घुमाइपछि रोकिनुहुन्छ भने प्रश्न “N घुमाइभित्र मेरो खेल कोष शून्य छुने सम्भाव्यता कति हो?” बन्छ। सामान्य N का लागि बन्द रूपको सूत्र छैन, तर यस साइटका सिमुलेटरले हिसाब गर्छन्: रातोमा $10 लगाउँदा $500 खेल कोष 100 घुमाइमा लगभग कहिल्यै दिवालिया हुँदैन (1% भन्दा कम), 500 घुमाइमा करिब 9% पटक दिवालिया हुन्छ, र 5,000 मा करिब 95%। रोक्ने नियम नभए सम्भाव्यता 100% तिर जान्छ, जुन हाउस एजगणितहाउस एजहरेक बाजीको रकमबाट क्यासिनोले औसतमा राख्ने अंश: युरोपेली रूलेटमा 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् →को दीर्घकालीन रूप हो।
- p10 −$500
- p25 −$500
- मध्यक −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
कति लामो, र कति अगाडि
लक्ष्य नभएका समान-रकमको स्थिर बाजी युरोपेली पाङ्ग्रामा खेल कोषको प्रत्येक एकाइका लागि औसत 37 घुमाइ र अमेरिकीमा 19 घुमाइ टिक्छन्, किनकि प्रत्येक घुमाइले औसतमा एकाइको 1/37 (अमेरिकी पाङ्ग्रामा 1/19) लिन्छ: 100 एकाइ औसतमा 3,700 घुमाइ टिक्छन्, यद्यपि त्यस्ता सत्रमध्ये आधा 3,134 भित्र सकिन्छन् (सत्र लम्बाइ र लागत हेर्नुहोस्)। र खेल कोष जति ठूलो भए पनि युरोपेली पाङ्ग्रामा कहिल्यै k एकाइ अगाडि हुने सम्भाव्यता (18/19)ᵏ हो। एउटा एकाइका लागि 95% र दसका लागि 58% हो, तर खेल कोष जति गहिरो भए पनि 13 एकाइ अगाडि कहिल्यै पुग्ने आधाभन्दा बढी सम्भाव्यता हुँदैन; अमेरिकी पाङ्ग्रामा सम्भाव्यता (9/10)ᵏ हुन्छ र 7 एकाइमा आधाभन्दा तल झर्छ।
आधा-आधा सम्भाव्यताका लागि खेल कोष
प्रश्न उल्ट्याउनुहोस्: सबै गुमाउनुअघि निश्चित रकम जित्ने कम्तीमा आधा-आधा सम्भाव्यता हुन कति लिएर आउनुपर्छ? सानो जितका लागि धेरै होइन। ठूलो जितका लागि चाहिने खेल कोष तीव्र रूपमा बढ्छ, र एक बिन्दुपछि कुनै खेल कोष पर्याप्त हुँदैन, किनकि अनन्त खेल कोषले पनि त्यति अगाडि पुग्ने आधाभन्दा कम सम्भाव्यता दिन्छ। Taylor (2021) ले यसलाई अर्को तरिकाले भन्छन्: अमेरिकी पाङ्ग्रामा 100 एकाइ पुग्ने आधा-आधा सम्भाव्यताका लागि 94 लिएर सुरु गर्नुपर्छ, 6 जित्न 94 जोखिममा राखेर। युरोपेली पाङ्ग्रामा 88 चाहिन्छ।
व्यावहारिक पाठ
तपाईं के गर्न खोज्दै हुनुहुन्छ तय गर्नुहोस्। लक्ष्य निश्चित जित हो भने कम र ठूला बाजी लगाउनुहोस्। लक्ष्य लामो साँझ हो भने सानो बाजी लगाउनुहोस् र एजले ठूलो कुल बाजी रकमपैसाकुल बाजी रकमसत्र वा अवधिमा लगाइएको कुल रकम, फेरि बाजी लगाइएका जित समेत। अर्को नाम: ह्यान्डल, एक्शन।पूरै पढ्नुहोस् →को 2.70% लिने कुरा स्वीकार्नुहोस्। लक्ष्य दुवै हो भने केही न केही छोड्नुपर्छ, र त्यो प्रायः लक्ष्य नै हुन्छ।
सूत्र
प्रश्नहरू
MartingaleरणनीतिMartingaleहरेक हारपछि बाजी दोब्बर गर्ने प्रगति प्रणाली। यसले के गर्छ र के गर्दैन भन्नेका लागि रणनीति खण्ड हेर्नुहोस्।पूरै पढ्नुहोस् → ले छोटा सत्रका लागि घटाउँछ र लामोका लागि नाटकीय रूपमा बढाउँछ। स्थिर बाजीरणनीतिस्थिर बाजीहरेक घुमाइमा उही रकम बाजी लगाउनु। हरेक प्रगति प्रणालीसँग तुलना गरिने आधाररेखा।पूरै पढ्नुहोस् → ठूलो एकाइमा लगाउनु त्यसलाई घटाउने इमानदार तरिका हो।
माथिको सूत्र समान रकमका लागि हो। उच्च-प्रसरण बाजीमा सानो बाजी रकममा दिवालियापन बढी सम्भाव्य हुन्छ र लक्ष्य असमान रूपमा पुग्छ; क्याल्कुलेटर प्रयोग गर्नुहोस्।
लक्ष्यतर्फको हरेक कदम दिवालियापनतर्फको हरेक कदमभन्दा अलि कम सम्भाव्य हुन्छ; अनुपात कदमको सङ्ख्यामा चक्रवृद्धि हुन्छ।
गणितसँग रमाइलो
पहिले यी आफैँ प्रयास गर्नुहोस्। हरेक समाधान भित्र तह लगाइएको छ; तयार भएपछि खोल्नुहोस्।
तपाईंसँग $100 छ र रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् → मा मात्र बाजी लगाएर $1,000 चाहनुहुन्छ। योजना एक: एकपटकमा $1 लगाउनुहोस्। योजना दुई: $500 ननाघेसम्म भएको सबै लगाउनुहोस्, अनि $1,000 पुग्न चाहिने मात्र। कुन योजना राम्रो छ, र कति धेरै?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर योजना दुई, धेरै नै। यो करिब 9.0% समय $1,000 पुग्छ, निष्पक्ष 10% नजिक। योजना एक 10²² मा करिब 7 पटक सफल हुन्छ।
निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलकुनै पनि पक्षलाई गणितीय लाभ नहुने खेल: हरेक बाजीको अपेक्षित मान शून्य हुन्छ।पूरै पढ्नुहोस् → मा, जुन गरे पनि $100 बाट $1,000 पुग्ने सम्भाव्यता दसमा एक हुन्थ्यो, किनकि तपाईंको रकमको औसत मान $100 मै रहन्छ।
हाउस एजले हरेक बाजीको 2.70% लिन्छ, त्यसैले कुलमा जति कम बाजी लगाउनुहुन्छ, दसमा एकसँग उति नजिक रहनुहुन्छ। योजना दुईले कुरा थोरै बाजीमै टुङ्ग्याउँछ: $100 $200, $400, $800 बन्छ, अनि $200 पर्याप्त हुन्छ। यो करिब 9.0% समय सफल हुन्छ। योजना एकलाई यात्रा सकिन हजारौँ बाजी लाग्छ, र हरेकमा सानो भएको गणितीय लाभ जोडिँदै लगभग निश्चित विनाश हुन्छ।
यो Dubins–Savage नतिजाको सबैभन्दा सरल रूप हो (Epstein, 2013): क्यासिनोलाई फाइदा हुने खेलमा, चाहिने जति धेरै लगाउनुहोस्, सकेसम्म थोरै पटक।
तपाईंसँग $500 छ र $1,000 चाहनुहुन्छ, पाउनेबित्तिकै रोक्नुहुन्छ। तपाईं एक प्रकारको बाजी छान्नुहुन्छ र त्यो एकपटक नजितेसम्म वा रकम नसकिउन्जेल दोहोर्याउनुहुन्छ। कुन प्रकारले सबैभन्दा राम्रो सम्भावना दिन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर रातोमा एक $500 बाजी: 48.6%। रकमलाई साना बाजीमा बाँड्ने हरेक योजनाको नतिजा खराब हुन्छ।
एउटा जित पर्याप्त हुने गरी हरेक बाजी रकम छान्नुहोस्: स्ट्रेट अपबाजीस्ट्रेट अपएउटै सङ्ख्या, 35:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् → मा $30 ले $1,050 जित्छ, स्प्लिटबाजीस्प्लिटदुई छेउछाउका सङ्ख्या, 17:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् → मा $60 ले $1,020, आदि। त्यसपछि रकम नसकिउन्जेल कम्तीमा एउटा बाजी जित्ने सम्भाव्यता गन्नुहोस्। सोह्रवटा $30 स्ट्रेट अप सबै छुट्ने सम्भाव्यता (36/37)¹⁶ = 64.5% हुन्छ, त्यसैले तिनीहरू 35.5% समय $1,000 पुग्छन्।
तालिकाले हरेक बाजी देखाउँछ। रातो सबैभन्दा राम्रो हुन्छ किनकि यो एकै बाजीमा पुग्छ, त्यसैले गणितीय लाभ $500 मा एकपटक तिरिन्छ। सिक्स लाइनबाजीसिक्स लाइनदुई छेउछाउका पङ्क्तिमा छ सङ्ख्या, 5:1 भुक्तानी। फ्रान्सेली: sixain।पूरै पढ्नुहोस् → दोस्रो हुन्छ किनकि यसलाई केवल तीन चाहिन्छ। एकल दर्जनबाजीदर्जन1–12, 13–24 वा 25–36, 2:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् → बाजी सबैभन्दा खराब हो, 12/37 को सम्भावना; $1,000 वा बढी नपुगेसम्म $250 एकाइपैसाएकाइप्रणाली वा खेलाडीले प्रयोग गर्ने आधार बाजीको रकम। प्रगति प्रणाली एकाइमा वर्णन हुन्छन् ताकि कुनै पनि रूलेट टेबलमा लागू होऊन्।पूरै पढ्नुहोस् → मा खेले पनि, दर्जन 46.4% समय मात्र पुग्छ।
Bollman (2024) ले अमेरिकी पाङ्ग्राका लागि उही तालिका बनाउँछन्। उनको दर्जन पङ्क्तिमा त्रुटि छ: 12/38 = 31.6% लेखिनुपर्थ्यो।
बाजीबाजी रकम × बाजीको सङ्ख्या$1,000 पुग्ने सम्भाव्यतास्ट्रेट अप$30 × 1635.5%स्प्लिट$60 × 835.9%स्ट्रिट$90 × 534.5%कर्नर$125 × 436.7%सिक्स लाइन$166, $166, $16841.2%दर्जन$500 × 132.4%रातो$500 × 148.6%तपाईं रातो मा एक एकाइ बाजी लगाउनुहुन्छ, घुमाइपछि घुमाइ, कहिल्यै नसकिने खेल कोषपैसाखेल कोषखेलका लागि छुट्याइएको कुल रकम। खेल कोष व्यवस्थापन भनेको हरेक बाजी र हरेक सत्रमा त्यसको कति जोखिममा राख्ने निर्णय हो।पूरै पढ्नुहोस् → का साथ। पहिलो घुमाइपछि तपाईं एक एकाइ अघि वा एक एकाइ पछाडि हुनुहुन्छ। तपाईं फेरि कहिल्यै ठ्याक्कै बराबर हुने सम्भाव्यता कति हुन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर 37 मध्ये 36, 97.3%। अमेरिकी पाङ्ग्रामा 38 मध्ये 36, 94.7%।
पहिलो घुमाइ जितेमा (37 मध्ये 18 पटक), तपाईं एक एकाइ अघि हुनुहुन्छ, र गणितीय लाभले हरेक अन्तहीन सत्रलाई तल तान्छ, त्यसैले ढिलोचाँडो फेरि बराबर हुँदै पार गर्नुहुन्छ: त्यो निश्चित हो। हारेमा (37 मध्ये 19 पटक), तपाईंले एक एकाइ उक्लनुपर्छ, र कहिल्यै एक एकाइ अघि हुने सम्भाव्यता 18/19 हुन्छ (माथिको तालिका हेर्नुहोस्)।
जम्मा: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37।
सामान्य रूपमा, सम्भाव्यता भनेको घुमाइ जित्ने र हार्ने सम्भाव्यताबीचको अन्तरलाई 1 बाट घटाउँदा आउने मान हो: युरोपेली पाङ्ग्रामा 1 − 1/37, अमेरिकीमा 1 − 2/38। शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → नभएको खेलमा अन्तर शून्य हुन्छ र सम्भाव्यता 1 हुन्छ: अंक सधैँ बराबर फर्कन्छ। Epstein (2013) ले सामान्य नियम दिन्छन्।
Pascal को 1656 को पहेली: दुई खेलाडीले तीन पासा फ्याँक्छन्, दुवै 12 काउन्टरबाट सुरु गर्छन्। हरेक 11 मा पहिलो खेलाडीलाई एक काउन्टर सर्छ, हरेक 14 मा दोस्रोलाई एक; अरू फ्याँकाइ गनिँदैनन्। पहिलो खेलाडीले सबै 24 जित्ने सम्भाव्यता कति हुन्छ? अनि त्यसको सट्टा तपाईंले बैंकको भूमिका खेल्ने साथीविरुद्ध हरेक घुमाइमा रातोमा 1 एकाइ बाजी लगाउनुभयो, दुवैसँग 12 एकाइ भएमा, सबै 24 जित्ने तपाईंको सम्भाव्यता कति हुन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर पहिलो खेलाडीले 1,158 मध्ये करिब 1,157 पटक जित्छ। रातोमा तपाईंले सबै 24 एकाइ जित्ने सम्भाव्यता करिब 34% मात्र हुन्छ।
तीन पासाले 11 लाई 27 तरिकाले र 14 लाई 15 तरिकाले बनाउँछन्, त्यसैले सर्ने हरेक काउन्टर 42 मध्ये 27 पटक पहिलो खेलाडीलाई जान्छ, 14 मध्ये 9 पटक। दुवै 12 बाट सुरु हुँदा, सबै लिने सम्भाव्यता 1/(1 + r¹²) हुन्छ, जहाँ r तपाईंको पक्षको सम्भाव्यतासँग अर्को पक्षको सम्भाव्यताको अनुपात हो।
पहिलो खेलाडीका लागि r = 5/9, र (5/9)¹² ≈ 0.00086, त्यसैले सम्भाव्यता करिब 0.99914: 9¹²:5¹² का अड्स, वा 2,82,42,95,36,481:24,41,40,625, करिब 1,157:1। Huygens ले ठ्याक्कै ती सङ्ख्या 1657 मा छापे।
रातोमा, शून्यका कारण r = 19/18, र (19/18)¹² ≈ 1.913: तपाईंको सम्भाव्यता 1/2.913 ≈ 34.3%। सिक्काले 50% दिन्थ्यो। हरेक बाजीको 2.70% गणितीय लाभ धेरै बाजीमा जोडिँदा 16-बिन्दुको अन्तर बनाउँछ।
हास्य-विराम
साहसी खेल इष्टतम हुन्छ। यो चाँडै समाप्त पनि हुन्छ।
स्रोतहरू
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Fermat लाई Pascal ले दिएको समस्याबारे Huygens लाई पत्र, 28 सेप्टेम्बर 1656।
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”