समस्या: जन्मदिनको पाङ्ग्रा
कुनै नम्बर दोहोरिनुअघि कति घुमाइ लाग्छ? धेरैले अनुमान गरेभन्दा निकै कम।
37-कक्षउपकरणखोपरोटरमा रहेका 37 क्रमाङ्कित खण्डमध्ये एक। अर्को नाम: स्लट, कप।पूरै पढ्नुहोस् → पाङ्ग्राको जन्मदिन समस्या: केवल 8 घुमाइपछि कुनै नम्बर पहिले नै दुईपटक आएको सम्भाव्यता आधाभन्दा बढी हुन्छ। खेलाडीले दोहोराइलाई ढाँचा ठान्छन्; ती उचित पाङ्ग्राको अपेक्षित व्यवहार हुन्।
समस्या
उचित युरोपेली पाङ्ग्रा घुमाउनुहोस्। कम्तीमा दुई घुमाइमा एउटै नम्बर आएको सम्भाव्यतागणितसम्भाव्यतानतिजा हुने मौका, 0 देखि 1 वा 0% देखि 100% सम्म। एउटा सङ्ख्या: 1/37 = 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् → आधाभन्दा कहिले बढ्छ? धेरै खेलाडीले 37 को आधा, 18 वा 19 जति अनुमान गर्छन्। उत्तर 8 हो।
समाधान
दोहोराइ नहुने सम्भाव्यता निकालेर एकबाट घटाउनुहोस्। k घुमाइपछि, p(सबै फरक) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)। k = 8 मा: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, त्यसैले p(कुनै दोहोराइ) ≈ 0.56। k = 14 मा यो 0.93 हुन्छ; k = 20 मा 0.996। अन्तर्ज्ञान चुक्छ किनकि घुमाइका जोडीको सङ्ख्या k² जस्तो बढ्छ र जुनसुकै जोडी मिल्न सक्छ।
रूलेट टेबलमा यो किन महत्त्वपूर्ण छ
अन्तिम 20 नम्बरको नतिजा बोर्डले झन्डै सधैं कम्तीमा एउटा दोहोराइ, र प्रायः दुई वा तीन देखाउँछ। खेलाडीले “17 दस घुमाइमा दुईपटक आयो” देखेर 17 तातो छ भन्ने निष्कर्ष निकाल्छन्; जन्मदिनको हिसाबले दस घुमाइभित्र दोहोराइ 74% पटक हुन्छ र दोहोरिएको नम्बर अनियमित हुन्छ। ढाँचा वास्तविक हो; यसको अर्थ होइन।
पछिल्लो समस्या
17 जस्तो निश्चित नम्बर दुईपटक नआउञ्जेल कति घुमाइ लाग्छ? यो धेरै ठूलो उत्तर भएको फरक प्रश्न हो: अपेक्षित पर्खाइ 74 घुमाइ हुन्छ र 20 घुमाइभित्र दुईवटा 17 आउने सम्भाव्यता करिब 10% हुन्छ। “कुनै नम्बर दोहोरिन्छ” (8 घुमाइ) र “यो नम्बर दोहोरिन्छ” (74 घुमाइ) बीचको अन्तर, पछि देखेको ढाँचा र अगाडि बनाएको भविष्यवाणीबीचको पूरै अन्तर हो।
आफैं प्रयास गर्नुहोस्
Demo Game लाई दस घुमाइ चलाएर इतिहास हेर्नुहोस्। प्रायः दोहोराइ हुनेछ। फेरि चलाउनुहोस्। दोहोरिएको नम्बर फरक हुनेछ। यसो दसपटक गर्दा तपाईंले जन्मदिन समस्यागणितजन्मदिन समस्यादुई जनाको एउटै जन्मदिन पर्न सक्ने सम्भावना हुन कति मानिस चाहिन्छ, वा सङ्ख्या दोहोरिने सम्भावना हुन कति घुमाइ चाहिन्छ भन्ने प्रश्न। 37-खोप पाङ्ग्रामा, 8 घुमाइले आधाभन्दा बढी सम्भाव्यता दिन्छ।पूरै पढ्नुहोस् → देख्नुभएको हुन्छ; हजारपटक गर्दा (सिमुलेटरले गर्न सक्छन्) तपाईंले त्यसलाई मापन गर्नुभएको हुन्छ।
सूत्र
प्रश्नहरू
ठ्याक्कै, 365 दिनको सट्टा 37 कक्षसँग। 23 मानिसमा जन्मदिनका लागि 50% हुन्छ; 8 घुमाइमा पाङ्ग्राका लागि 56% हुन्छ।
करिब 19 घुमाइपछि 50%। अझै सामान्य।
गर्दैन। एउटै पाङ्ग्राका हजारौं घुमाइले गर्थ्यो; एउटै दोहोराइले कहिल्यै गर्दैन।
गणितसँग रमाइलो
पहिले यी आफैँ प्रयास गर्नुहोस्। हरेक समाधान भित्र तह लगाइएको छ; तयार भएपछि खोल्नुहोस्।
अमेरिकी पाङ्ग्रासँगै रहेको नतिजा-पट्टले पछिल्ला 16 घुमाइ देखाउँछ। त्यसमध्ये कुनै सङ्ख्या दुई पटक नदेखिने सम्भाव्यता कति छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर करिब 2.5%: 40 मध्ये मोटामोटी 39 पट्टमा कम्तीमा एउटा दोहोराइ देखिन्छ।
घुमाइघुमाइ गरेर जानुहोस्। पहिलो घुमाइ जे पनि हुन सक्छ। दोस्रोले त्यसलाई छोड्नुपर्छ: 38 मध्ये 37 सम्भाव्यता। तेस्रोले दुवै छोड्नुपर्छ: 38 मध्ये 36। सोह्रौँले पन्ध्र सङ्ख्या छोड्नुपर्छ: 38 मध्ये 23।
गुणन गर्नुहोस्: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246।
दोहोराइ नभएको पट्ट दुर्लभ हो। दोहोराइ भएको पट्टले पाङ्ग्राबारे केही बताउँदैन।
युरोपेली पाङ्ग्राको दस घुमाइमा 17 ठ्याक्कै पाँच पटक आउने सम्भाव्यता कति हुन्छ? कुनै पनि सङ्ख्या पाँच वा बढी पटक आउने? अनि चार घुमाइमा कुनै सङ्ख्या कम्तीमा तीन पटक आउने?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर 17 ठ्याक्कै पाँच पटक: 3,15,576 मा 1। कुनै सङ्ख्या पाँच वा बढी पटक: करिब 8,333 मा 1। चार घुमाइमा कुनै सङ्ख्या तीन वा बढी पटक: 349 मा 1।
17 ठीक पाँच पटक: दस घुमाइमध्ये कुन पाँचमा आउने छ छान्नुहोस्, 252 तरिका, हरेक तरिकाको सम्भाव्यता (1/37)⁵ × (36/37)⁵। जम्मा 3,15,576 मा 1।
कुनै नम्बर: 37 नम्बरमध्ये प्रत्येकमा पाँच वा बढी पटक आउनुको सम्भाव्यता 3,08,325 मा 1 छ, जसले 3,08,325 मा 37, अथवा 8,333 मा 1 दिन्छ। पाँच-पाँच हिट भएका दुई नम्बरको दुर्लभ अवस्था दुई पटक गनिन्छ, तर त्यसलाई हटाउँदा यो परिशुद्धतामा केही फरक पर्दैन।
चार घुमाइमा तीन पटक: एउटा नम्बरका लागि 37⁴ सम्भावित नतिजामध्ये 4 × 36 + 1 = 145; 37 वटा नम्बरमध्ये जुनसुकैका लागि 145/37³ = 349 मा 1।
दोहोरो-शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → पाङ्ग्राका लागि सम्बन्धित मानहरू 3,59,275 मा 1, 9,243 मा 1 र 368 मा 1 हुन्। “17” र “कुनै नम्बर” बीचको अन्तर फेरि जन्मदिन समस्यागणितजन्मदिन समस्यादुई जनाको एउटै जन्मदिन पर्न सक्ने सम्भावना हुन कति मानिस चाहिन्छ, वा सङ्ख्या दोहोरिने सम्भावना हुन कति घुमाइ चाहिन्छ भन्ने प्रश्न। 37-खोप पाङ्ग्रामा, 8 घुमाइले आधाभन्दा बढी सम्भाव्यता दिन्छ।पूरै पढ्नुहोस् → नै हो: अचम्म मान्ने 37 तरिका छन्।
हास्य-विराम
कुनै कुरा चाँडै दोहोरिन्छ। त्यो कुरा अनियमित हुन्छ।
स्रोतहरू
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, रूलेटसम्बन्धी प्रश्नहरू।