समस्या: रूलेट टेबल सीमा
$500 रूलेट टेबलमा $10 को मार्टिङ्गेल। यो कति पटक टुट्छ, टुट्दा कति हार्छ, र सीमा बढाउँदा मद्दत हुन्छ?
लगातार छ हारले यसलाई टुटाउँछ: प्रति चक्र 1.8%, 100-घुमाइ सत्रको करिब 60%। टुट्दा $630 हारिन्छ। सीमा $5,000 पुर्याउँदा टुटाइ दुर्लभ (प्रति चक्र 0.25%) र ठूलो ($5,110) हुन्छ। बाजी लगाइएको प्रति डलर अपेक्षित घाटा हरेक सीमामा 2.70% हुन्छ।
समस्या
खेलाडीले रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् →मा $10 लगाउँछ, प्रत्येक हारपछि दोब्बर गर्छ र जितपछि फेरि सुरु गर्छ। रूलेट टेबलको अधिकतम $500 छ। (a) कतिवटा लगातार हारले प्रगति क्रमरणनीतिप्रगति प्रणालीअघिल्ला नतिजाका आधारमा बाजीको रकम बदल्ने कुनै पनि नियम। ऋणात्मक प्रगति प्रणालीले हारपछि बढाउँछ, सकारात्मकले जितपछि।पूरै पढ्नुहोस् → टुट्छ? (b) प्रति चक्र सम्भाव्यतागणितसम्भाव्यतानतिजा हुने मौका, 0 देखि 1 वा 0% देखि 100% सम्म। एउटा सङ्ख्या: 1/37 = 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् → कति हुन्छ? (c) टुट्दा कति हारिन्छ? (d) $5,000 सीमाले उत्तरहरू कसरी बदल्छ? (e) के कुनै सीमाले प्रणालीलाई नाफामूलक बनाउँछ?
समाधान (a)–(c)
बाजी रकम: 10, 20, 40, 80, 160, 320। सातौँ 640 > 500 हुने भएकाले छ हारले टुट्छ। (b) रातोमा p(हार) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, प्रति चक्र करिब 1.8%। एउटा चक्र औसतमा करिब दुई घुमाइ चल्छ, त्यसैले 100-घुमाइ सत्रमा करिब 50 चक्र हुन्छन् र p(कम्तीमा एउटा टुटाइ) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, अर्थात् चक्रले जित्न खोजेको $10 का विरुद्ध 63 आधार एकाइपैसाएकाइप्रणाली वा खेलाडीले प्रयोग गर्ने आधार बाजीको रकम। प्रगति प्रणाली एकाइमा वर्णन हुन्छन् ताकि कुनै पनि रूलेट टेबलमा लागू होऊन्।पूरै पढ्नुहोस् →।
समाधान (d)
$5,000 मा: 2,560 सम्मका बाजी रकम स्वीकृत हुन्छन्; दसौँ बाजी, 5,120, अस्वीकार हुन्छ। नौ हारले टुट्छ: (19/37)⁹ ≈ 0.25% प्रति चक्र, 100-घुमाइ सत्रको करिब 11%। टुट्दाको घाटा: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। खेलाडीले ठूलो विपत्तिको मूल्यमा दुर्लभ विपत्ति किनेको छ। धेरै सत्रमा टुटाइको अपेक्षित लागत $500 सीमामा p × घाटा ≈ 0.0183 × 630 = प्रति चक्र $11.5 र $5,000 मा 0.0025 × 5,110 = $12.8 हुन्छ; गोलाइभित्र उही सङ्ख्या हो, र त्यो चक्रको अपेक्षित घाटागणितअपेक्षित घाटाअपेक्षित मान गुणा कुल लगाइएको रकम; सत्र वा अवधिमा औसत गुम्ने रकम।पूरै पढ्नुहोस् →बाट जितेका चक्रले कमाउने $10 घटाएको परिणाम हो।
समाधान (e)
हुँदैन। प्रति चक्र अपेक्षित घाटा = (चक्रको अपेक्षित कुल बाजी रकम) / 37 हो, हरेक सीमामा, किनकि हरेक बाजी आफैंको −1/37 हो। सीमाले धेरै साना जित र थोरै ठूला हारबीच घाटा कसरी बाँडिन्छ भन्ने मात्र तय गर्छ। सीमा नहुँदा र अनन्त खेल कोषपैसाखेल कोषखेलका लागि छुट्याइएको कुल रकम। खेल कोष व्यवस्थापन भनेको हरेक बाजी र हरेक सत्रमा त्यसको कति जोखिममा राख्ने निर्णय हो।पूरै पढ्नुहोस् → हुँदा प्रगति क्रम “चल्थ्यो”, अर्थात् कहिल्यै टुट्दैनथ्यो, र त्यसले अपेक्षित घाटा उक्त असीम रकमको 2.70% भएको असीम रकममा बाजी लगाउँथ्यो। रूलेट टेबल सीमारूलेट टेबलरूलेट टेबल सीमाअनुमति भएको न्यूनतम र अधिकतम बाजी। अधिकतमले दोब्बर पार्ने प्रगति प्रणाली रोक्छ।पूरै पढ्नुहोस् →ले मार्टिङ्गेलरणनीतिMartingaleहरेक हारपछि बाजी दोब्बर गर्ने प्रगति प्रणाली। यसले के गर्छ र के गर्दैन भन्नेका लागि रणनीति खण्ड हेर्नुहोस्।पूरै पढ्नुहोस् →लाई चल्न नदिने होइन। गणितले हो।
दुई वास्तविक रूलेट टेबल
Thorp को उदाहरणमा $1 रूलेट टेबलको अधिकतम $1,000 छ, जहाँ खेलाडीले डलर-डलर गर्दै बेलुकाको खानाका लागि $30 जित्ने आशा गर्छ। 1, 2, 4 … 512 का बाजीले दस बाजी दिन्छन्, त्यसैले लगातार दस हारले प्रगति क्रम टुट्छ: युरोपेली पाङ्ग्रामा 785 चक्रमा एकपटक (अमेरिकीमा 613 मा एकपटक), $1,023 को लागतमा। तीस चक्र सबै सफल हुने सम्भाव्यता 96.2% छ। बाँकी 3.8% मा करिब $1,000 हारिन्छ, र साँझको औसत नतिजा −$9.17 हुन्छ, जुन तीस चक्रले औसतमा लगाउने $339 को ठ्याक्कै 1/37 हो। $2,000 अधिकतम भएको $5 रूलेट टेबल फरक छैन: $1,280 सम्मका बाजीले नौ बाजी दिन्छन्, र युरोपेली पाङ्ग्रामा 403 चक्रमा एकपटक (अमेरिकीमा 323 मा एकपटक) टुट्छ र $2,555 खर्च हुन्छ।
धनी खेलाडी
कम सीमाको सट्टा प्रगति क्रमलाई गहिरो खेल कोष दिनुहोस्: 1,000 एकाइ, एक-एकाइ आधार र रातोमा 1,000 घुमाइ, अर्को दोब्बर बाँकी रकमभन्दा बढी भएमा फेरि एक एकाइबाट सुरु गरी। हामीले यस्ता दस लाख साँझ सिमुलेट गर्यौँ। युरोपेली पाङ्ग्रामा 52% अगाडि समाप्त हुन्छन्, 21% सबै गुमाउँछन्, र औसत नतिजा −124 एकाइ हुन्छ। शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → नभएको, हरेक बाजी उचित भएको खेलमा पनि केवल करिब 60% अगाडि समाप्त हुन्थे। सामान्य साँझ सानो जित हो; औसतको मूल्य शून्यमा टुङ्गिने साँझले तिर्छन्।
सिकाइ
क्यासिनोले प्रणाली हराउन होइन, आफ्नै प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान वरिपरि नतिजा कति व्यापक फैलिन्छन् भन्ने माप। स्ट्रेट अपमा उच्च, समान-रकम बाजीमा न्यून।पूरै पढ्नुहोस् → सीमित गर्न सीमा राख्छन्। मार्टिङ्गेल हराउनु तिनीहरूलाई मन पर्ने सहप्रभाव हो, र गणितले जसरी पनि त्यसलाई हराउँथ्यो। सीमालाई समस्या ठान्ने खेलाडीले भीर भेट्टाएको छ र त्यसलाई ढलान ठानेको छ।
सूत्र
प्रश्नहरू
यसले तपाईंलाई माथिल्लो सीमासम्म टिक्न दिन्छ, जहाँ टुटाइ दुर्लभ र ठूलो हुन्छ। प्रति डलर अपेक्षित घाटा उही हुन्छ।
बाजी रकम 10, 30, 70, 150, 310: पाँच हारपछि $500 सीमा पुग्छ र टुट्दा $570 खर्च हुन्छ। उही 2.70%।
एउटा खेलाडीले क्यासिनोको सञ्चित कोषले सजिलै तिर्न सक्नेभन्दा बढी बाजी नलगाओस् भनेर। प्रसरण व्यवस्थापन।
गणितसँग रमाइलो
पहिले यी आफैँ प्रयास गर्नुहोस्। हरेक समाधान भित्र तह लगाइएको छ; तयार भएपछि खोल्नुहोस्।
MartingaleरणनीतिMartingaleहरेक हारपछि बाजी दोब्बर गर्ने प्रगति प्रणाली। यसले के गर्छ र के गर्दैन भन्नेका लागि रणनीति खण्ड हेर्नुहोस्।पूरै पढ्नुहोस् → ले रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् → मा $100 बाट सुरु गर्छ र एक चक्रमा बढीमा n बाजी मात्र लगाउँछ: लगातार n पटक हारेपछि छोडेर फेरि सुरु गर्छ। एक चक्रको औसत नतिजा n को सूत्रमा लेख्नुहोस्, र युरोपेली पाङ्ग्रामा 5, 6 र 7 बाजीका लागि निकाल्नुहोस्।
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर औसत 100 × (1 − (38/37)ⁿ) हो: 5 बाजीमा −$14.26, 6 मा −$17.35 र 7 मा −$20.52। बढी बाजी दिनुले औसत चक्र राम्रो होइन, खराब बनाउँछ।
सबै n बाजी हारेनन् भने एक चक्रले $100 जित्छ; सबै हार्ने सम्भाव्यता qⁿ हो, जहाँ q = 19/37। ती सबै हार्दा, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ बाजी रकमको योग 100 × (2ⁿ − 1) हुन्छ। त्यसैले औसत 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) हो।
यहाँ 2q = 38/37, 1 भन्दा अलि बढी, त्यसैले (2q)ⁿ n सँग बढ्छ र औसत घट्छ: n = 5 ले 1.1426 र −$14.26 दिन्छ; n = 6 ले 1.1735 र −$17.35; n = 7 ले 1.2052 र −$20.52। लामो भर्याङ कम पटक हार्छ, चक्रको 3.6%, 1.8% र 0.9% मा, तर प्रत्येक हार दोब्बर ठूलो हुन्छ, र हरेक चक्रमा बढी रकम रूलेट टेबल पार हुन्छ, प्रत्येक बाजीको 2.70% मा।
अमेरिकी पाङ्ग्रामा 2q = 40/38 र मानहरू −$29.24, −$36.04 र −$43.20 हुन्छन् (Taylor, 2021)। शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → नभएको खेलमा 2q = 1, र भर्याङ जति लामो भए पनि हरेक चक्रको औसत ठ्याक्कै शून्य हुन्छ।
“grand Martingale” ले हारपछि बाजी रकम दोब्बर बनाउँछ र एक एकाइपैसाएकाइप्रणाली वा खेलाडीले प्रयोग गर्ने आधार बाजीको रकम। प्रगति प्रणाली एकाइमा वर्णन हुन्छन् ताकि कुनै पनि रूलेट टेबलमा लागू होऊन्।पूरै पढ्नुहोस् → थप्छ, त्यसैले बाजी रकम 1, 3, 7, 15, 31 … हुन्छ। पहिलो जित 1st, 2nd, 3rd वा kth बाजीमा आउँदा तपाईं कति अघि हुनुहुन्छ? $10 एकाइ र $500 अधिकतममा, चक्र कति पटक टुट्छ, र चक्रको औसत लागत कति हुन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर kth बाजीमा जित्दा तपाईं k एकाइ अघि हुनुहुन्छ: +1, +2, +3 आदि। $10 र $500 मा चक्र पाँच हारपछि, चक्रको 3.57% मा, टुट्छ र −$570 हुन्छ। औसतमा एउटा चक्रले लगाइएको $85.73 मध्ये $2.32 हार्छ: 2.70%।
kth बाजी रकम 2ᵏ − 1 एकाइ हो: 1, 3, 7, 15, 31। पहिलो k − 1 बाजी रकमको योग 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 हो। kth बाजीमा जितले 2ᵏ − 1 दिन्छ, त्यसैले चक्र (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k एकाइ अघि सकिन्छ: जितअघिको हरेक हारका लागि एक अतिरिक्त एकाइ।
$10 एकाइमा बाजी रकम $10, $30, $70, $150 र $310 हुन्छन्; अर्को $630, $500 अधिकतमभन्दा माथि हो। लगातार पाँच हार, (19/37)⁵ = 3.57%, को लागत 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 हो।
औसत: जितले k = 1 देखि 5 का लागि (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 सम्भाव्यतामा $10 × k ल्याउँछ, र टुट्दा 3.57% सम्भाव्यतामा $570 लाग्छ; जम्मा −$2.32। लगाइएको रकमको औसत प्रति चक्र $85.73 हो, र 2.32/85.73 = 2.70%। उही रूलेट टेबलमा साधारण Martingale छ हारपछि, चक्रको 1.83% मा, −$630 मा टुट्छ, र लगाइएको $64.20 मध्ये $1.74 हार्छ: फेरि 2.70%।
एक खेलाडीले रातो मा $1 पहिलो बाजीका साथ Martingale योजना बनाउँछ, रूलेट टेबलको सीमा $1,000 छ, त्यसैले दस बाजी सम्भव छन्: $1, $2, $4 र $512 सम्म। चक्रले सबै दस कति पटक हार्छ, औसतमा त्यो हुन कति समय लाग्छ, र 200 बाजीको साँझ कति पटक त्यसरी सकिन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर चक्रले सबै दस करिब 784 मध्ये एकपटक हार्छ, जसको लागत $1,023 हुन्छ। त्यो औसतमा करिब 1,600 बाजी हो, र 200 बाजीको साँझमा करिब 11% समय सीमा पुग्छ। चक्रले अझै लगाइएको $11.31 मध्ये औसतमा $0.31 हार्छ: 2.70%।
रातोको बाजी शून्यसहित 19/37 सम्भाव्यतामा हार्छ। लगातार दस: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, करिब 784 मध्ये 1। 1 + 2 + 4 + … + 512 बाजी रकमको योग $1,023 हुन्छ।
एक चक्रलाई औसतमा 2.05 बाजी लाग्छ, त्यसैले 784 चक्रलाई करिब 1,600 बाजी लाग्छ। घुमाइअनुसार गन्दा, 200 बाजीमा कतै लगातार दस हार देखिने सम्भाव्यता 11.3% छ।
विपत्तिबीच खेलाडीले प्रति चक्र $1 जित्छ: खराब चक्रअघिसम्म करिब $783, त्यसपछि −$1,023, पूरै अवधिमा करिब −$240। प्रति चक्र: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। प्रति चक्र लगाइएको रकम: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। र −0.31/11.31 = −2.70%।
$500 सीमामा $10 पहिलो बाजी, छ बाजी, सँग तुलना गर्नुहोस्: सीमा 55 चक्रमा एकपटक पुग्छ, र 200 बाजीको साँझले 84% समय भेट्छ। उच्च सीमाले दुर्घटना दुर्लभ र ठूलो बनाउँछ, सस्तो होइन।
हास्य-विराम
हरेक सीमामा दुर्लभ र ठूलो। गुणनफल स्थिर छ।
स्रोतहरू
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2औँ संस्करण।