रूलेटमा शृङ्खलाको सम्भाव्यता
एउटै रङको लामो क्रम सामान्य हुन्छ। अर्को घुमाइका लागि त्यसको कुनै अर्थ हुँदैन।
लगातार पाँच रातो: 2.7%। दश: 0.074%। 200-घुमाइको सत्रमा एउटै रङको छको क्रम देखिने सम्भावना आधाभन्दा बढी हुन्छ।
हारको लगातार क्रम कति पटक आउँछ
एकल-शून्य पाङ्ग्रामा समान-रकम बाजी 37 घुमाइमध्ये 19 मा हार्छ। हरेक पङ्क्तिले दिइएको घुमाइको क्रम सबै हार्ने सम्भाव्यता र हरेक हारपछि दोब्बर गर्ने Martingale खेलाडीले त्यतिबेलासम्म हारेको रकम देखाउँछ।
| लगातार हार | सम्भाव्यता | करिब 1 मा | अहिलेसम्मको घाटा | अर्को बाजी |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
सम्भाव्यता 19/37 लाई हरेक हारका लागि आफैँसँग गुणा गरिएको हो, दिइएको एउटा घुमाइबाट गनेर। लामो सत्रमा यस्तो क्रम सुरु हुन सक्ने धेरै घुमाइ हुन्छन्, त्यसैले एक साँझमा यो एउटै पङ्क्तिले देखाएभन्दा धेरै सम्भावित हुन्छ।
एउटा निश्चित क्रम
अर्का k घुमाइ सबै रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् → हुने सम्भाव्यतागणितसम्भाव्यतानतिजा हुने मौका, 0 देखि 1 वा 0% देखि 100% सम्म। एउटा सङ्ख्या: 1/37 = 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् → (18/37)ᵏ हो। दुई: 23.7%। पाँच: 2.7%। दश: 0.074%, करिब 1 मा 1,350। बीस: 1 मा 1.8 मिलियन। Monte Carlo रेकर्ड, छब्बीस: 1 मा 137 मिलियन। यी कुनै निश्चित घुमाइबाट सुरु हुने निश्चित क्रमका सम्भाव्यता हुन्, र प्रायः कसैले वास्तवमा सोधिरहेको प्रश्न त्यही होइन।
एउटा सत्रमा
मानिसहरूले भन्न खोज्ने प्रश्न “मेरो सत्रमा कतै k को क्रम देखा पर्ला?” हो, र उत्तर (18/37)ᵏ भन्दा धेरै ठूलो हुन्छ किनकि 200-घुमाइको सत्रले क्रम सुरु हुने झन्डै 200 ठाउँ दिन्छ। रातो वा कालोबाजीकालो18 कालो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: noir।पूरै पढ्नुहोस् → एउटै रङका लगातार छ वा बढी 200-घुमाइको सत्रमा करिब 94% पटक आउँछन्; आठ वा बढी करिब 47%; दश वा बढी करिब 14%। रङ अग्रिम नाम लिएमा सम्भावना घटेर करिब 75%, 27% र 7% हुन्छ। साँझभर बस्ने खेलाडीले हरेक साँझ लामो क्रम देख्छ।
Martingale ले किन ध्यान दिन्छ
हरेक ऋणात्मक प्रगति प्रणालीरणनीतिप्रगति प्रणालीअघिल्ला नतिजाका आधारमा बाजीको रकम बदल्ने कुनै पनि नियम। ऋणात्मक प्रगति प्रणालीले हारपछि बढाउँछ, सकारात्मकले जितपछि।पूरै पढ्नुहोस् →मा त्यसलाई भत्काउने क्रम लम्बाइ हुन्छ: $500 सीमामा $10 आधारबाट छ हार, FibonacciरणनीतिFibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… श्रेणी पछ्याउने प्रगति प्रणाली: हारपछि एक कदम अगाडि, जितपछि दुई कदम पछाडि।पूरै पढ्नुहोस् →का लागि दश, दर्जनबाजीदर्जन1–12, 13–24 वा 25–36, 2:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् →मा तीन गुणा लगाउँदा पाँच। समान-रकममा लगातार छ हारको सम्भाव्यता (19/37)⁶ ≈ प्रति प्रयास 1.8% हुन्छ, र 200-घुमाइको सत्रमा सम्भवतः 100 प्रयास हुन्छन्, त्यसैले त्यति लामो सत्रमा करिब पाँचमध्ये चार सत्रमा भङ्ग आउँछ। रूलेटमा क्रमको सम्भाव्यता नै किन त्यो भीर दुर्लभ छैन भन्ने कारण हो।
तातो र चिसो नम्बर
उही अंकगणित स्ट्रेट अपबाजीस्ट्रेट अपएउटै सङ्ख्या, 35:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् →मा लागू हुन्छ। 300 घुमाइमा प्रत्येक नम्बरको अपेक्षित गन्ती 8.1 हुन्छ; मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरणको वर्गमूल; अपेक्षित मानबाट नतिजाको सामान्य दूरी।पूरै पढ्नुहोस् → करिब 2.8 हुन्छ। संयोगले मात्र कुनै नम्बर 15 पटक र अर्को 2 पटक आउनेछन्, हरेक पटक। “तातो” नम्बर देखाउने नतिजा बोर्डले सामान्य वितरणको माथिल्लो भाग मात्र देखाइरहेको हुन्छ। तातो नम्बरमिथकतातो सङ्ख्याहालै अपेक्षाभन्दा धेरै पटक आएको सङ्ख्या। निष्पक्ष पाङ्ग्रामा यसले केही अनुमान गर्दैन।पूरै पढ्नुहोस् →ले कहिले अर्थ राख्छ भनेर ल्याबले बताउँछ (हजारौँ घुमाइपछि, एउटै पहिचान भएको पाङ्ग्राबाट)।
स्वतन्त्रता नै मूल कुरा हो
लगातार दश रातोले कालोलाई बढी सम्भाव्य बनाउँदैन, रातोलाई पनि बनाउँदैन। दुवै 18/37 हुन्। क्रम यादृच्छिक अनुक्रमको गुण हुन्, र तिनको अनुपस्थिति सन्देहास्पद हुन्थ्यो: चारभन्दा लामो कुनै क्रम नभएको 200-घुमाइ अनुक्रम, बाह्रको क्रम भएको अनुक्रमभन्दा छेडछाडको धेरै बलियो प्रमाण हुन्थ्यो।
सूत्र
प्रश्नहरू
18 अगस्ट 1913 मा Monte Carlo मा आएका 26 कालो प्रसिद्ध उदाहरण हो। 1943 मा अमेरिकी क्यासिनोमा लगातार 32 रातो आएको रिपोर्ट थियो। क्यासिनोले चलाउने घुमाइको सङ्ख्या हेर्दा दुवै संयोगसँग मेल खान्छन्।
जुनसुकै तरिकाले पनि 18/37 हो। आफ्नो योजनाले भनेकोमा बाजी लगाउनुहोस्, वा केही नलगाउनुहोस्।
जनाउँदैन। पक्षपात हजारौँ घुमाइमा केही खोपउपकरणखोपरोटरमा रहेका 37 क्रमाङ्कित खण्डमध्ये एक। अर्को नाम: स्लट, कप।पूरै पढ्नुहोस् → अरूभन्दा बढी लाग्दा देखिन्छ, रङको क्रमबाट होइन।
गणितसँग रमाइलो
पहिले यी आफैँ प्रयास गर्नुहोस्। हरेक समाधान भित्र तह लगाइएको छ; तयार भएपछि खोल्नुहोस्।
हरेक 37 सङ्ख्या कम्तीमा एकपटक आइसकेको हुन युरोपेली पाङ्ग्राका औसतमा कति घुमाइ लाग्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर औसतमा करिब 155 घुमाइ; मध्यक 147 हो।
प्रत्येक पटक एउटा नयाँ नम्बरका लागि पर्खाइ गन्नुहोस्। पहिलो घुमाइले सधैँ नयाँ नम्बर देखाउँछ। तपाईंले 1 नम्बर देखिसकेपछि, 37 मध्ये 36 खोपउपकरणखोपरोटरमा रहेका 37 क्रमाङ्कित खण्डमध्ये एक। अर्को नाम: स्लट, कप।पूरै पढ्नुहोस् → नयाँ हुन्छन्, त्यसैले अर्को नयाँ नम्बरलाई औसतमा 37/36 घुमाइ लाग्छ। तपाईंले k नम्बर देखिसकेपछि, यसलाई 37/(37 − k) लाग्छ।
पर्खाइहरू जोड्नुहोस्: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 घुमाइ।
यसको धेरै भाग अन्त्यमा हुन्छ। अन्तिम नम्बरलाई मात्रै औसतमा 37 घुमाइ लाग्छ, र अन्तिम पाँचलाई करिब 85। अमेरिकी पाङ्ग्रामा उही योगले करिब 161 दिन्छ। यो कुपन सङ्कलकको समस्या हो; मानक गणनाबाट पनि उही औसत आउँछ।
युरोपेली पाङ्ग्राको 37 घुमाइमा, हरेक खोपका लागि एक घुमाइ, कति फरक सङ्ख्या देख्ने अपेक्षा गर्नुहुन्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर करिब 23.6। सङ्ख्याको मोटामोटी एक तिहाइ, करिब 13, बिलकुलै आउँदैनन्।
एउटा सङ्ख्या लिनुहोस्, जस्तै 17। हरेक घुमाइमा यो 36/37 सम्भाव्यतामा आउँदैन, त्यसैले सबै 37 घुमाइमा नआउने सम्भाव्यता (36/37)³⁷ ≈ 0.363 हुन्छ।
हरेक सङ्ख्याको उही सम्भाव्यता हुन्छ, त्यसैले औसतमा 37 × 0.363 ≈ 13.4 सङ्ख्या छुट्छन् र 37 − 13.4 ≈ 23.6 आउँछन्, तीमध्ये धेरै दुई वा बढी पटक।
रूलेट खेलाडीहरूले यसलाई तिहाइ को नियम भन्छन्। यो कुनै नियम होइन, दोहोरिने सङ्ख्याको गणित मात्र हो: पाङ्ग्राजत्तिकै लामो दौडमा निष्पक्ष होस् वा अरू कुनै पाङ्ग्रा, करिब एक तिहाइ सङ्ख्या बस्छन्। 38 खोपमा पनि अंश (37/38)³⁸ ≈ 0.363 हुन्छ; ठूलो पाङ्ग्रामा यो 1/e ≈ 0.368 नजिक स्थिर हुन्छ।
एक साथीले तपाईंलाई रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् → वा कालोबाजीकालो18 कालो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: noir।पूरै पढ्नुहोस् → का 50 रङको दुई सूची देखाउँछ, र दुवै शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → हटाइएको पाङ्ग्राबाट आएको भनिन्छ। एउटाले 25 पटक रङ बदल्छ र त्यसको सबैभन्दा लामो दौड छ हो। अर्कोले 35 पटक बदल्छ र तीनभन्दा लामो कहिल्यै जाँदैन। कुन बनाइएको हो?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर दोस्रो। वास्तविक सूचीले करिब 24 वा 25 पटक रङ बदल्छ। 35 पटक बदलिएको सूची करिब 500 मध्ये एकपटक आउँछ, र तीनभन्दा लामो कुनै दौड नभएको सूची करिब 100 मध्ये दुईपटक।
हरेक नयाँ रङले अघिल्लो रङ दोहोर्याउँछ वा बदल्छ, आधा-आधा, त्यसैले 49 पटक बदल्ने मौकाले औसतमा 24.5 परिवर्तन दिन्छ, लगभग 3.5 को फरकसहित। पैंतीस औसतभन्दा तीन त्यस्ता चरण माथि हो; निष्पक्ष पाङ्ग्राले त्यति धेरै परिवर्तन भएका सूची करिब 500 मध्ये एकपटक बनाउँछ।
दौडले उही कुरा भन्छ। 50 को वास्तविक सूचीमा चार वा बढीको दौड करिब 98% समय हुन्छ, र यसको सबैभन्दा लामो दौड प्रायः पाँच वा छ हुन्छ।
मानिसहरूलाई यादृच्छिक सूची बनाउन लगाउँदा उनीहरू धेरै पटक बदल्छन्, किनकि चार वा पाँचको दौड उनीहरूलाई ढाँचाजस्तो देखिन्छ। Taylor (2021) ले विद्यार्थीले बनाएका सिक्का उछालका सूचीमा पनि उही सङ्केत देखाउँछन्: वास्तविक यादृच्छिकता मानिसले अपेक्षा गरेभन्दा बढी क्रमिक हुन्छ।
क्यासिनो कथाको पुस्तकले एक खेलाडीको सङ्ख्या लगातार पाँच पटक आयो र त्यसलाई कीर्तिमान भन्छ। युरोपेली पाङ्ग्रामा त्यो कति दुर्लभ छ? अनि चौबीसै घण्टा चल्ने 20 रूलेट टेबल भएको, प्रत्येकले प्रति घण्टा 40 पटक घुम्ने एउटै क्यासिनोमा त्यो कतिपटक हुनुपर्छ?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर एउटा नामित सङ्ख्या लगातार पाँचपटक: 69 मिलियन मध्ये 1। पहिले आएपछि कुनै पनि सङ्ख्या चारपटक थप आउनु: 1.87 मिलियन मध्ये 1। त्यो क्यासिनो वर्षमा करिब 7 मिलियन पटक घुम्छ, त्यसैले वर्षमा पाँचको दौड तीन वा चारपटक देख्नुपर्छ।
नामित सङ्ख्या हरेक घुमाइमा 1/37 सम्भाव्यतामा आउँछ, त्यसैले लगातार पाँचको सम्भाव्यता (1/37)⁵ = 6,93,43,957 मध्ये 1। तर कसैले सङ्ख्या पहिले नै नामित गर्दैन। पहिले जे आउँछ, अर्को चार घुमाइले त्यही दोहोर्याउनुपर्छ: (1/37)⁴ = 18,74,161 मध्ये 1।
20 रूलेट टेबल × 40 घुमाइ × 24 घण्टा × 365 दिन = वर्षमा 70,08,000 घुमाइ। हरेक घुमाइले दौड सुरु गर्न सक्छ, त्यसैले क्यासिनोले वर्षमा 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7 पटक पाँचको दौड अपेक्षा गर्छ।
यस्तो कुनै आधिकारिक कीर्तिमान छैन, र चाहिँदैन पनि: एउटा रूलेट टेबलमा दुर्लभ घटना क्यासिनोभरि सामान्य हुन्छ, र कथा त्यही रूलेट टेबलबारे भनिन्छ जहाँ भयो। Goldman (2007) को कथामा दोहोरो-शून्य पाङ्ग्रा छ, जहाँ मानहरू 79 मिलियन मध्ये 1 र 2.09 मिलियन मध्ये 1 हुन्।
हास्य-विराम
लामो क्रम नै यादृच्छिकता कस्तो देखिन्छ भन्ने हो।
स्रोतहरू
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.