दीर्घकालीन अभिसरण: रूलेटमा ठूला सङ्ख्याको नियम
औसत कसरी −2.70% तर्फ स्थिर हुन्छ, र त्यसमा अन्तर्ज्ञानले सुझाएभन्दा किन बढी समय लाग्छ।
घुमाइ थपिँदै जाँदा प्रति घुमाइ औसत घाटा −1/37 तर्फ अभिसरित हुन्छ र फैलावट 1/√N जस्तो घट्छ। रातोमा 1,000 घुमाइपछि औसत प्रायः आफ्नो अपेक्षाको ±3% भित्र हुन्छ।
ठूला सङ्ख्याको नियम
स्वतन्त्र बाजीहरूको चलिरहेको औसत अपेक्षित मानगणितअपेक्षित मानदीर्घकालमा प्रति बाजीको औसत नतिजा। हरेक मानक युरोपेली बाजीमा बाजीको रकमको −1/37।पूरै पढ्नुहोस् →तर्फ जान्छ। एक एकाइपैसाएकाइप्रणाली वा खेलाडीले प्रयोग गर्ने आधार बाजीको रकम। प्रगति प्रणाली एकाइमा वर्णन हुन्छन् ताकि कुनै पनि रूलेट टेबलमा लागू होऊन्।पूरै पढ्नुहोस् →मा N वटा सम-पैसा घुमाइपछि प्रति घुमाइ औसत नतिजाको अपेक्षित मान −1/37 र मानक विचलनगणितमानक विचलनप्रसरणको वर्गमूल; अपेक्षित मानबाट नतिजाको सामान्य दूरी।पूरै पढ्नुहोस् → 1/√N हुन्छ। N = 100 मा त्यो फैलावट बाजी रकमको 10% हुन्छ, 2.7% सङ्केतको झन्डै चार गुणा। N = 1,000 मा 3.2%, सङ्केतजत्तिकै हुन्छ। N = 10,000 मा 1% हुन्छ, र गणितीय लाभ स्पष्ट देखिन्छ। सत्रमा गणितीय लाभ अदृश्य हुन्छ; वर्षमा निर्विवाद हुन्छ।
के अभिसरित हुन्छ र के हुँदैन
प्रति घुमाइ औसत अभिसरित हुन्छ। कुल हुँदैन: N बढ्दै जाँदा त्यो शून्यबाट अझ टाढा बग्छ—अपेक्षामा N को करिब 2.7% र त्यस वरिपरि √N को फैलावटसहित। $10 मा 10,000 घुमाइ खेलेको खेलाडी $2,700 घाटामा हुने अपेक्षा हुन्छ, माथि वा तल $1,000 जति। रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् →को चलिरहेको अनुपात धेरैअघि नै 48.65% नजिक बसेको हुन्छ; चलिरहेको सन्तुलन कतै बस्दैन।
- p10 −$440
- p25 −$280
- मध्यक −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
अन्तर्ज्ञान किन चुक्छ
2.70% धेरै जस्तो सुनिने भएकाले मानिसले गणितीय लाभ छिट्टै देखिने अपेक्षा गर्छन्, र औसत अभिसरित हुन्छ भनेर ठूला सङ्ख्याको नियमगणितठूला सङ्ख्याको नियमपरीक्षणको सङ्ख्या बढ्दै जाँदा स्वतन्त्र नतिजाको औसत अपेक्षित मानतर्फ अभिसरण हुन्छ।पूरै पढ्नुहोस् →ले भनेकाले लामो क्रम “बराबर हुने” अपेक्षा गर्छन्। दुवै अन्तर्ज्ञानले मापन गलत ठान्छन्: एउटै घुमाइको प्रसरणगणितप्रसरणअपेक्षित मान वरिपरि नतिजा कति व्यापक फैलिन्छन् भन्ने माप। स्ट्रेट अपमा उच्च, समान-रकम बाजीमा न्यून।पूरै पढ्नुहोस् →का तुलनामा गणितीय लाभ सानो हुन्छ (EV = 0.027 विरुद्ध σ = 1 एकाइ), त्यसैले एक-सिग्मा देखिन (1/0.027)² ≈ 1,400 घुमाइ लाग्छ। अनि औसतको अभिसरणले कुललाई फर्काएर तान्दैन; त्यसले विगतका उतारचढाव मात्र पातला बनाउँछ।
अन्य बाजीका लागि अभिसरण
स्ट्रेट अपबाजीस्ट्रेट अपएउटै सङ्ख्या, 35:1 भुक्तानी।पूरै पढ्नुहोस् →का लागि σ = 5.84 हुन्छ, त्यसैले त्यही हिसाबले गणितीय लाभ एक सिग्मासम्म पुग्न (5.84/0.027)² ≈ 47,000 घुमाइ लाग्छ। स्ट्रेट अप खेलाडीले आफ्नै अभिलेखमा गणितीय लाभ भाग्यबाट छुट्टिन नसक्ने गरी वर्षौं खेल्न सक्छ, जबकि केही हप्तामै देख्ने रातो खेलाडीले तिरेको जस्तै ठ्याक्कै 2.70% तिर्छ।
प्रणाली जाँच्ने अर्थ
प्रणाली चल्छ भनेर दाबी गर्नेले कागजातसहितको धनात्मक औसतमा 10,000 वा बढी घुमाइ देखाउन सक्नुपर्छ। 1,000 घुमाइमा सम-पैसामा धनात्मक औसत शून्य परिकल्पनामा पाँचमा एक हुने घटना हो; 100 घुमाइमा त्यो सिक्का पल्टाइजस्तै हुन्छ। यस साइटका सिमुलेटरले तपाईंले रोजेको लम्बाइका 2,000 सत्र एक सेकेन्डमा चलाउँछन्, जुन कुनै पनि प्रशंसापत्रभन्दा बढी प्रमाण हो।
सूत्र
प्रश्नहरू
तपाईं खेलिरहँदा फेरि अगाडि हुने सम्भाव्यतागणितसम्भाव्यतानतिजा हुने मौका, 0 देखि 1 वा 0% देखि 100% सम्म। एउटा सङ्ख्या: 1/37 = 2.70%।पूरै पढ्नुहोस् → शून्यतर्फ झर्छ। कुल बिना सीमा तल बग्छ।
होइन। यसको अर्थ विगतका उतारचढाव ठूलो नमुनाको सानो अंश बन्छन् भन्ने हो।
सम-पैसाका लागि गणितीय लाभ स्पष्ट देखिनुअघि करिब 10,000। स्ट्रेट अपका लागि करिब 50,000।
गणितसँग रमाइलो
पहिले यी आफैँ प्रयास गर्नुहोस्। हरेक समाधान भित्र तह लगाइएको छ; तयार भएपछि खोल्नुहोस्।
दुई साथीले 20 चरणको निष्पक्ष खेलगणितनिष्पक्ष खेलकुनै पनि पक्षलाई गणितीय लाभ नहुने खेल: हरेक बाजीको अपेक्षित मान शून्य हुन्छ।पूरै पढ्नुहोस् →, सिक्का उछाल वा रातोबाजीरातो18 रातो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: rouge।पूरै पढ्नुहोस् → विरुद्ध कालोबाजीकालो18 कालो सङ्ख्यामाथिको समान-रकम बाजी। फ्रान्सेली: noir।पूरै पढ्नुहोस् → शून्यपाङ्ग्राशून्यएउटै हरियो खोप जसलाई कुनै समान-रकम, दर्जन वा स्तम्भ बाजीले छोप्दैन; हाउस एजको स्रोत। अर्को नाम: एकल शून्य, 0।पूरै पढ्नुहोस् → आएमा रकम फिर्ता हुने, खेल्छन् र चलिरहेको अंक राख्छन्। हरेक जना अघि रहेको चरण गन्नुहोस् (बराबरीलाई त्यसअघिको अग्रता भएकै जनाले पाउँछ)। कुन बढी सम्भावित छ: अग्रता 10 चरण र 10 चरणमा बाँडिनु, कि एक साथी सबै 20 मा अघि हुनु?
समाधान देखाउनुहोस्
उत्तर एक साथी सबै 20 चरणमा अघि हुनु धेरै सम्भावित छ: दुवैमध्ये कसैलाई गन्दा 35.2%, बराबर 10 र 10 का लागि 6.1% को तुलनामा।
निष्पक्ष चलिरहेको अंक 2k चरणपछि बराबर हुने सम्भाव्यता u = C(2k, k)/2²ᵏ हो: 10 चरणपछि 0.246 र 20 पछि 0.176। चिरपरिचित नतिजा, आर्क-साइन नियम ले, 2n चरणमध्ये एक नामित साथी ठीक 2k चरण अघि रहने सम्भाव्यता u(2k) × u(2n − 2k) हुन्छ भन्छ।
सबै 20 मा अघि: प्रत्येक साथीका लागि u(20) × u(0) = 0.176, दुवैमध्ये कसैका लागि 35.2%। बराबर बाँडफाँट: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, सबैमध्ये सबैभन्दा कम सम्भावित बाँडफाँट।
त्यसैले निष्पक्ष खेलमा अग्रता विरलै हात बदल्छ। साँझभरि अघि वा पछाडि रहेको खेलाडीले असामान्य केही देखेको हुँदैन, र त्यसले पाङ्ग्रा वा सीपबारे केही भन्दैन। Epstein (2013) ले लामो खेलका लागि उही नियम दिन्छन्: आधा समय भाग्यमानी पक्ष खेलको 85% भन्दा बढीमा अघि रहन्छ।
हास्य-विराम
औसत अभिसरित हुन्छ। कुल भने अघि बढिरहन्छ।
स्रोतहरू
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.